ÁP DỤNG CẤP SỐ ĐỂ XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ .

GV : CHÂU CHÍ TRUNG.


Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về DÃY SỐ là xác định số hạng tổng quát của các dãy số được cho bởi công thức truy hồi và có nhiều phương pháp để giải quyết yêu cầu đó. Nội dung của trọng tâm của chuyên đề này là giới thiệu kỹ thuật biến đổi để qui về dãy số quen thuộc trong chương trình Toán cấp trung học : CẤP SỐ CỘNG , CẤP SỐ NHÂN để giải quyết yêu cầu đặt ra.
Nội dung của chuyên đề được trình bày dưới dạng các BÀI TOÁN TỔNG QUÁT , theo trình tự từ đơn giản đến phức tạp , có ví dụ để minh họa và một số bài tập áp dụng .



BÀI TOÁN 1:
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (
) với
và a, b, c ( R .



PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Trường hợp 1 : Nếu a = 1 thì dãy (
) là một cấp số cộng , công sai b .
Trường hợp 2 :Nếu a ≠ 1 , ta qui dãy (un) thành dãy (vn) là một cấp số nhân , công bội a như sau:
Đặt vn = un +
khi đó vn là một cấp số nhân .
Thật vậy : vn+1 = un+1 +
= aun + b +
=
= a.vn .
Nên : vn+1 = a.vn là một cấp số nhân công bội a và v1 = u1 +
.
Từ đó số hạng vn = v1.an – 1 . Suy ra : un = vn –
= v1.an – 1 –
.
Vậy số hạng tổng quát dãy số là : un = v1.an – 1 –
với v1 = c +
.


VÍ DỤ 1:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi :
.
GIẢI :
Ta có u1 > 0 , qui nạp ta được un > 0 .
Từ giả thiết suy ra :
.
Đặt vn =
, khi đó ta được : vn+1 = 3vn + 2 với v1 = 2 (*)
Đặt zn = vn + 1 , (*) trở thành : zn+1 = 3zn với z1 = 3.
Như vậy (zn) là một cấp số nhân có công bội bằng 3 và z1 = 3 nên zn = z1.3n – 1 = 3n .
Suy ra : vn = zn – 1 = 3n – 1 .
Vậy dãy số (un) có un =
, n ((* .


BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1.Xác định số hạng tổng quát của các dãy số được cho bởi
a.
b.

2.Cho dãy số (un) xác định bởi :
.
Tình tổng
.
3.Cho n vòng tròn trong đó cứ hai vòng tròn thì giao nhau tại 2 điểm và không có ba vòng tròn nào giao nhau tại 1 điểm .
Hỏi n vòng tròn đã cho chia mặt phẳng làm bao nhiêu phần?



BÀI TOÁN 2:
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (
) với
và a, b, c ( R và f(n) là một đa thức theo n .



PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Trường hợp 1: a = 1 ta có un+1 = un + f(n).
Cho n lần lượt nhận các giá trị 1 ; 2; 3; …n thì ta được:

Trong đó
được tính thông qua các tổng
;
;
….
Trường hợp 2: a ≠ 1.
Đặt vn = un + g(n) với deg(g) = deg(f) và g(n) được xác định thông qua phương pháp hệ số bất định dồng thời thỏa : vn+1 = avn .
Ta qui dãy (un) thành dãy (vn) là một cấp số nhân có công bội q = a.

VÍ DỤ 2:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi :
.
GIẢI:
Theo đề bài ta có un +1 = un + n3 + 2
un + 1 – un = n3 + 2 .
Thay n lần lượt bằng 1, 2,…,n – 1 và cộng (n – 1) đẳng thức ta được:
un – u1 =
=
+2(n – 1) .
Vậy un =
+2n .

VÍ DỤ3:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi :
.
GIẢI:

Đặt g(n) = an2 + bn + c và vn = un + g(n) ( a, b, c ( R) với vn+1 = 3vn .
Khi đó : vn+1 = 3vn
un+1 + g(n+1) = 3(un + g(n))

3un